INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E Á GESTÃO

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL II – ER – 06Julho 2018 – 2 Horas

O projecto de uma infra-estrutura é decomposto em 5 grandes actividades, A, B, C, D e E, cujas durações, em semanas, são, respectivamente, 8, 12, 16, 10 e 5. A actividade A pode ser iniciada a qualquer momento. A actividade B só pode ser iniciada depois de completada a 1ª metade da actividade A. A actividade C só pode ser iniciada quando estiver completa a actividade A e metade da actividade B. A actividade D é precedida da actividade B e metade da actividade C. Finalmente a actividade E só se pode iniciar após ser realizado metade da actividade D e metade da actividade C.

(2,0 valores) Estabeleça uma rede para o projecto com o menor nº possível de actividades fictícias;

(2,0 valores) Determine o caminho crítico e as margens totais e livres para as actividades. Se não resolveu a alínea a) considere a seguinte rede:

F-7 2 3 4 5 7 8 6 1 G-6

C-8

E-9 I-12 H-12

A-6

B-7

D-5

(1,5 valores) Suponha que o dono da obra (Governo) pretende antecipá-la 4 semanas e sabe individualmente cada tarefa só pode ser acelerada em 2 semanas (na alínea a, em metade de uma actividade só pode acelerar uma semana) e que o custo por semana para cada actividade é de 20 mil €. Estabeleça um modelo que lhe permita responder à questão e diga qual seria a resposta em função do hipotético resultado obtido.

Num sistema bipartidário (tipo americano), os partidos A e B disputam as eleições e estão a preparar as suas estratégias e orçamentos respectivos. Cada um deles pretende determinar o esforço, incluindo financeiro, na campanha, para cada opção estratégica. O partido A pretende fazer campanha em torno da regionalização (R) e do combate ao desemprego (D). O partido B, para além destes, tem também em vista o combate à corrupção (C). Estudos de opinião feitos pelos partidos indicam que haverá cerca 30% dos eleitores que não pretendem votar nos partidos, abstendo-se ou votando nulo ou branco. Dos que pretendem votar nos partidos, as percentagens são distribuídas pelos dois partidos de acordo com a bimatriz

Partido B
R	D	C
Partido A	R	(35;35)	(40;30)	(25;45)
D	(40;30)	(30;40)	(45;25)

(3,5 valores) Classifique o jogo, verifique se tem pontos de equilíbrio, em estratégias puras ou em estratégias mistas, e indique-o (s). determine o valor do joga para cada jogador. Comente e interprete as implicações práticas;

(1,5 valores) Caracterize o valor de Shapley e o Nucléolo enquanto soluções de um jogo cooperativo, indicando os critérios que levam à sua escolha, diferenças e aspectos comuns.

A empresa CONSTROI, SA, comercializa materiais de construção. Assim, e no que se refere aos stocks dos seus produtos, pretende estudar as melhores políticas de acordo com as várias categorias de artigos. Em relação ao cimento, a CONSTROI sabe que a procura anual tem distribuição normal de média 6 000 e desvio padrão 200. A empresa compra cada saco a 10 u.m. e lançar uma encomenda custa 2 000 u.m., demorando 1 mês a ser satisfeita. O cimento é armazenado numa instalação alugada, partilhada com outros materiais de construção de outros construtores, cujo custo é função da quantidade e do tempo do cimento em armazém (considere o custo anual função do nº médio de sacos), sendo de 2 u.m. por saco e por ano. O dono do armazém apenas tem capacidade para 2 650 sacos. Sabe-se ainda que o custo do seguro para proteger o cimento é de 2% ao ano sobre o valor médio do cimento em armazém. O custo de imobilização de capital da CONSTROI é de 12% ao ano. Havendo ruptura de stock, a empresa pede cimento emprestado a outro operador, pagando um custo adicional de 4 u.m. por saco.

(2,0 valores) Supondo um modelo determinístico, com a procura dada pela média e em que o custo de ruptura indicado atrás é por saco e por mês, determine a política de aprovisionamento;

(2,5 valores) Supondo um modelo aleatório, e em que o custo de ruptura indicado atrás é por saco independente do tempo em ruptura (assume-se que está pouco tempo em ruptura), determine a política de aprovisionamento, Quantidade a encomendar, ponto de encomenda, stock de segurança e custo total;

(1,0 valores) Justifique as diferenças nos custos dos dois modelos, bem como as razões para isso.

Uma refinaria é abastecida com petróleo bruto através dum porto com dois terminais, A e B. O nº de petroleiros que chegam por unidade de tempo é uma v.a. poisson, chegando em média um petroleiro de 2 em 2 dias. Quando estão os dois terminais vazios, um navio que chega vai para o A, se um estiver ocupado vai para o outro, e se ambos estiverem ocupados espera ao largo. Em cada um dos terminais, o tempo, em dias, que um navio demora a descarregar é uma v.a. com função de densidade .

Os custos diários de utilização dos terminais são de 2 000 u.m. e 3 000 u.m. para os terminais A e B, respectivamente. Os custos de espera são de 1 000 u.m por dia.

(1,5 valores) Gere as variáveis aleatórias correspondentes á chegada e descarga de 4 barcos;

(2,5 valores) Faça a simulação do sistema até à saída do último dos 4 barcos, utilizando os valores gerados na alínea a), determinando os custos totais referentes a esses barcos (se não responder à alinea a, utilize valores apropriados para fazer a simulação).

Nota. Considere, por ordem, os seguintes NPA entre 0 e 100: chegadas: 63; 22; 71; 34;

Tempo de descarga:	58; 18;	62; 9.

O professor

C2-8 Tópicos de Resolução

a) As actividades A, B, C e D vão ser dividas em duas partes (ao meio). A actividade E não necessita de ser dividida.

C1-8 C2-8 2 3 4 6 7 9 5 1

A2-4

8

D2-5

E-5 A1-4

B2-6 B1-6

D1-5

b)

Nodo 1 2 3 4 5 6 7 8 9

DT 0 4 10 10 18 18 23 28 28

DC 0 4 10 10 18 18 23 28 28

ACT A1 A2 B1 B2 C1 C2 D1 D2 E

MT 0 2 0 2 0 2 0 0 0

ML 0 2 0 2 0 2 0 0 0

Caminhos Críticos: {A1, B1, C1, D1, D2} e { A1, B1, C1, D1, E}

Duração do CC= 28 semanas

duração objectivo (desejada)= 24 semanas

Modelo

Min C. Aceleração = 20 (A1+A2 + B1+B2+C1+C2+D1+D2+ E

…., ,

, A1 ≤ 1,…,D2 ≤1, E ≤ 2

A1 – nº de semanas que se acelera a actividade A1 (1ª metade de A) e assim sucessivamente até

E - nº de semanas que se acelera a actividade E

Nota é fácil de verificar, por simples inspecção que o problema tem solução, bastando acelerar uma semana cada uma das actividades A1, B1, C1 e D1, com um custo de 20*4=80 mil. Se se acelerar D2 tem de se acelerar simultaneamente E, pois existem dois caminhos críticos. Seria uma solução admissível, mas não óptima.

2. a) Jogo de duas pessoas de soma constante (=70%), finito, estático, informação completa e não cooperativo dada a sua natureza (quando um ganha o outro perde). Podemos utilizar apenas a matriz de ganho de um dos partidos (jogadores), por exemplo A

45 Est. A: B ut.R

B ut.D

40 C 30 D 1/2 R	B ut. C

Estratégia R do partido B (E1 de B) é eliminada, obtendo-se a solução na intersecção de D com C, isto é,

Estratégia de A: (R; D): (1/2; 1/2)

Esta de B: A ut. R

A ut. D

Logo

Estratégia de B: (D; C): (2/3; 1/3)

Valor esperado de A=40*1/2 *2/3 +25*1/2*1/3+30*1/2*2/3+45*1/2*1/3=35 (%)

Valor esperado de B =70-35= 35 (%)

As probabilidades indicam o esforço e dispêndio orçamental em cada estratégia por parte de cada partido.

3.

a) D = 6 000; A=2 000, C=100; L =1 mês= 1/12 anos

IC= 2+ +0,02*10+0,12*10=3,4

p=4*12=48

Modelo determinístico de vendas diferidas com (apenas) custo de ruptura variável

P.E. = LD -

CT (excluindo custos de aquisição por serem constantes)=

Modelo de ponto de encomenda com vendas diferidas, mas com custo de ruptura diferente do anterior, pois é proporcional à quantidade em ruptura mas independente do tempo em ruptura.

Política:

4.a) Assumimos que a primeira chegada ocorre no momento 0, isto é, o sistema arranca com a primeira chegada. Chegadas (geração da exponencial, pois num processo de poisson, o intervalo entre chegadas é exponencial, neste caso de média 2 dias)

1ª chegada: momento 0 (tempo é medido em dias com duas decimais)

2ª chegada:

3ª chegada

4ª chegada

Tempo de descarga de cada barco obtém-se gerando, através da transformação inversa, a variável aleatória com f.d. probabilidade dada:

1ª descarga:

2ª descarga:

3ª descarga:

4ª descarga:

Quadro de Simulação:

Tempo	Nº barcos	Proxima	Estado	Estado	Saída	Saída	Próxima	Próximo
Dias	Acont	Sistema	Chegada	Term. A	Term. B	Term. A	Term. B	Ocorr.	Acont.
0	CH	1	1,99	OC	VA	3,35	-	1,99	CH
1,99	CH	2	2,49	OC	OC	3,35	4,30	2,49	CH
2,49	CH	3	4,97	OC	OC	3,35	4,30	3,35	SA
3,35	SA	2	4,97	OC	OC	6,77	4,30	4,30	SB
4,30	SB	1	4,97	OC	VA	6,77	-	4,97	CH
4,97	CH	2	-	OC	OC	6,77	6,85	6,77	SA
6,77	SA	1	-	VA	OC	-	6,85	6,85	SB
6,85	SB	0	-	VA	VA	-	-	-	-

Custo Term. A = 2 000*(6,77 - 0)= 13 540; Custo Term. B = 3 000*(4,30 - 1,99+6,85 - 4,97) = 12 570; Custo Espera = 1 000*((3,35 - 2,49) = 860; Custo Total= 26 970